Einführung in das mathematische Arbeiten. Die Studieneingangsphase der Mathematikstudien an der Universität Wien.

Umgesetztes Projekt

Ziele

Im Rahmen des Projekts erfolgte eine umfassende Neugestaltung des ersten Semesters in den Mathematikstudien an der Universität Wien. Die Einführung in das mathematische Arbeiten schlägt eine Brücke über den tiefen Graben zwischen Schul- und Hochschulmathematik, indem sie bei der Vermittlung der typischen Inhalte der ersten Studienphase dem „Was“ das „Wie“ gleichberechtigt zu Seite stellt. Sie zielt auf ein Verständnis der Mathematik als Methode ab und ermöglicht so den Studierenden einen sanften Einstieg ohne Abstraktionsschock.

 

Lehrbezogene Angaben zum Projekt:

Bachelorstudium Mathematik:

Pflichtmodul Studieneingangs- und Orientierungsphase (StEOP) – „Grundlagen der

höheren Mathematik“

Lehrveranstaltungen:

1. Vorlesung: Einführung in das mathematische Arbeiten (7 ECTS, 3 Std.)

2. Workshops zur Aufarbeitung des Schulstoffs (Selbststudium, 4 ECTS)

Ca. 350 Studierende

 

Bachelorstudium im Unterrichtsfach Mathematik (Lehramt in der Sekundarstufe):

Pflichtmodul Studieneingangs- und Orientierungsphase (StEOP) Unterrichtsfach Mathematik

Lehrveranstaltungen:

1. Vorlesung: Einführung in die Mathematik (7 ECTS, 3 Std.)

2. Workshops zur Aufarbeitung des Schulstoffes (Selbststudium, 4 ECTS)

3. Prüfungsvorbereitende Übung: Einführung in die Mathematik (2 ECTS, 1 Std.)

Ca. 450 Studierende

 

Das Lehrangebot richtet sich an ca. 800-1000 Studierende.

Ab dem Wintersemester 2016 wird das Sekundarstufen-Bachelorcurriculum im Verbund Nord-Ost gemeinsam mit vier Pädagogischen Hochschulen angeboten, was aller Voraussicht zu einer großen Steigerung der HörerInnenzahlen im Lehramt führen wird.

Kurzzusammenfassung

Der Studieneinstieg im Fach Mathematik gilt wegen des hohen Abstraktionsgrades der Hochschulmathematik und ihrer fundamentalen Differenz zur Schulmathematik zurecht als besonders schwierig. Das eingereichte Lehrkonzept sorgt für einen sanften Einstieg in die Mathematikstudien (Fach und Lehramt) an der Universität Wien, indem es in der Vermittlung der typischen Inhalte der ersten Studienphase dem „Was“ das „Wie“ konsequent als gleichberechtigt zur Seite stellt. Als Kernstück der Studieneingangsphase wurde eine Vorlesung mit begleitendem Lehrbuch entwickelt, die fachmathematische sowie meta-mathematische und fachsprachliche Inhalte in generischer Weise verbindet. Sie hebt sich somit klar von den vielerorts üblichen Einführungslehrveranstaltungen mit ihrer ausschließlich mathematisch-inhaltlichen Fokussierung ab.

Die Einreicher haben das Projekt vor einem guten Jahrzehnt am Institut für Mathematik der Universität Wien begonnen und in mehreren Zyklen aus fachdidaktisch begleiteter Evaluation und Anpassung in methodischer und inhaltlicher Hinsicht weiterentwickelt. Insbesondere spielten die daraus gewonnenen Erfahrungen eine zentrale Rolle bei der curricularen Ausgestaltung und Organisation der Studieneingangs- und Orientierungsphase in den jeweiligen Studienplänen. Darüber hinaus haben die Einreicher ihr Konzept in den internationalen hochschuldidaktischen Diskurs eingebracht, wodurch es weit über die Universität Wien hinaus Beachtung gefunden hat.

Nähere Beschreibung

Einführung in das mathematische Arbeiten

 

Schul- und Hochschulmathematik: Abstraktionsschock und Schulstoff

Die Art und Weise, wie Mathematik an höheren Schulen unterrichtet wird, unterscheidet sich radikal von der Art und Weise, wie Mathematik an Universitäten gelehrt wird, d.h. von der Mathematik als Wissenschaft. Während die Schulmathematik ihren Schwerpunkt auf das Lösen von Beispielen legt, beschäftigt sich die Mathematik als Wissenschaft hauptsächlich mit abstrakten Strukturen. Diese werden durch wenige grundlegende Eigenschaften definiert und ihre jeweiligen Beziehungen in Beweisen mittels logischer Schlussfolgerungen abgeleitet. Beispiele dienen meist nur der Illustration abstrakter Sachverhalte.

So gibt es wohl kaum ein Fach, bei dem ein tieferer Graben zwischen Schule und Hochschule zu überwinden ist und viele StudienanfängerInnen drohen bereits in den ersten Wochen zu scheitern. Tatsächlich weist das Mathematikstudium eine auffällig hohe Drop-Out-Rate auf. Dieses Phänomen wird oft als Abstraktionsschock bezeichnet.

Eine weitere Hürde zu Beginn des Mathematikstudiums ergibt sich für viele Studierende aus der Beherrschung des Schulstoffs: Der Wissensstand der MaturantInnen stellt sich je nach Schultyp und Qualität des Unterrichts unterschiedlich dar. Insbesondere klafft bei vielen AnfängerInnen eine deutliche Lücke zwischen dem tatsächlich aus der Schule mitgebrachten Wissen und dem traditionell vorausgesetzten und unkommentiert verwendeten „Schulstoff“.

 

Studieneingangsphase: Konzept und curriculare Aspekte

Schon länger zeigte sich, dass die „klassische“ AnfängerInnenausbildung auch in ihrer Wiener Ausprägung der oben beschriebenen Problematik nicht ausreichend begegnen konnte. Um den Einstieg ins Mathematikstudium zu reformieren, haben die Einreicher lange vor der curricularen Verankerung von Studieneingangsphasen begonnen, eine solche für die Mathematikstudien an der Universität Wien zu konzipieren. Sie haben ihren Ansatz über die Jahre hinweg in mehreren Zyklen aus Evaluation und Anpassung weiterentwickelt und die inhaltliche und organisatorische Implementierung der Studieneingangsphase in den Curricula gestaltet. Sie findet ihre aktuelle Ausgestaltung im Rahmen der Studieneingangs- und Orientierungsphase (StEOP) in den Bachelorstudien Mathematik und Unterrichtsfach Mathematik.

Die StEOP ist den traditionellen Vorlesungszyklen inhaltlich vorgelagert, wobei eine klare Schnittstelle definiert ist. Entsprechend wurde ein Kompetenzprofil als Zielvorgabe für die Studieneingangsphase erstellt, das den Studierenden einen reibungslosen Einstieg ins weitere Studium garantiert. Dieses gliedert sich gemäß der obigen Analyse in die Hauptbereiche

 

(A) mathematische Abstraktion und

(B) Beherrschung des Schulstoffs.

 

Das Grundkonzept der StEOP besteht darin, sich den beiden Aspekten in jeweils inhaltlich und methodisch speziell darauf ausgerichteten Lehrveranstaltungen zu widmen. Im Fachstudium umfasst die StEOP die ersten 6 Wochen, danach beginnen die (stundenmäßig reduzierten) Hauptvorlesungszyklen. Studierende im Lehramt erhalten einen noch sanfteren Einstieg. Die Studieneingangsphase dauert 3 Monate und ermöglicht somit die regelgerechte Absolvierung der beiden weiteren StEOP (Zweitfach, Pädagogik).

In jedem der beiden Fälle besteht das Herzstück der StEOP aus einer Pflichtvorlesung mit dem Titel „Einführung in das mathematische Arbeiten“ im Fachstudium bzw. „Einführung in die Mathematik“ im Lehramt (EMA, je 7 ECTS, 3 Std.) mit der Hauptaufgabe, ein geeignetes Abstraktionsniveau herzustellen.

Neben der Vorlesung werden „Workshops zur Aufarbeitung des Schulstoffs“ angeboten. Diese unterstützen StudentInnen dabei, etwaige Defizite aus der Schule zu bereinigen. Nach Ende der Intensivphase der Workshops beginnen im Fachstudium ab der dritten Woche die Übungen zu den Hauptvorlesungen, die allerdings zunächst inhaltlich die EMA begleiten. Für Studierende im Lehramt sieht das Curriculum parallel zur Vorlesung eine speziell auf ihre Bedürfnisse abgestimmte prüfungsvorbereitende Übung zur praktischen Einübung mathematischer Abstraktion vor.

Kern der Leistungsüberprüfung am Ende der StEOP ist eine schriftliche Klausur zur EMA. Diese wird seit dem WS 2015 wegen der stark gestiegenen Studierendenzahlen (Verdreifachung in den letzten 10 Jahren) elektronisch unterstützt durchgeführt. Dafür wurden speziell Fragen entwickelt, die theoretisches Grundwissen (Definitionen, Sätze) und Rechenfertigkeiten im Rahmen eines Multiple-Choice-Tests überprüfen. Ergänzt durch offene Fragen (Beweise), die händisch bewertet werden, kann gleichzeitig eine den Fachspezifika angemessen qualitätsvolle wie auch automationsgestützte, schnelle Beurteilung erfolgen.

 

EMA: Inhalt, Methode, didaktisches Konzept

Inhaltlich deckt die EMA jene Themen ab, die traditionell am Anfang jedes Mathematikstudiums stehen: grundlegende Ideen, Aussagenlogik, (naive) Mengenlehre, (einfache) algebraische Strukturen, Zahlenmengen und analytische Geometrie. Ihr innovatives Hauptmerkmal besteht darin, dass sie explizit die Mathematik gemeinsam mit ihrer Methodik, ihrer Sprache und ihren Konventionen präsentiert, also dem „Was“ das „Wie“ gleichberechtigt zur Seite stellt: Am Beginn stehen sehr ausführliche Beweise einfacher Inhalte, wobei parallel dazu der Aufbau mathematischer Texte und die Bedeutung typischer Formulierungen erklärt werden. Hier wird das oft Unausgesprochene explizit und das Inoffizielle offiziell gemacht. Insbesondere wird die hohe Informationsdichte mathematischer Formulierungen aufgedeckt und das richtige Rezipieren mathematischer Texte thematisiert und schrittweise der Abstraktionsgrad erhöht. So werden die AnfängerInnen behutsam bis zum definierten Kompetenzniveau in die abstrakte mathematische Denkweise eingeführt. Da all dies anhand später benötigter mathematischer Inhalte geschieht, ist es möglich, annähernd denselben Stoff zu vermitteln wie im traditionellen Studienaufbau.

Die EMA ist als klassische Vorlesung gestaltet und stellt somit eine Phase der direkten Instruktion dar (vgl. [3] Literaturliste siehe Attachment). Allerdings haben die Einreicher eine Reihe von innovativen Stilmitteln entwickelt, um in interessanter und ansprechender Weise fachmathematische mit meta-mathematischen und methodischen Inhalten zu verweben, z.B. werden Erklärungen zu fachsprachlichen Regeln sowie methodische Hinweise in den laufenden Text eingeflochten. Typische Fehler werden vorweggenommen, indem sie in ironischer Weise zu offensichtlich falschen Aussagen verknüpft werden. Die Einführung neuer Begriffe wird ausführlich motiviert und mit sinnstiftenden Beispielen unterfüttert, sodass Abstraktion nicht (nur) als Hürde, sondern auch als denkökonomischer und ästhetischer Gewinn positiv erfahrbar wird.

Die Einreicher haben ein begleitendes Skriptum gestaltet und über die Jahre hinweg zum Lehrbuch [8] erweitert. Zusätzlich betreiben sie eine begleitende Webseite, die Ausarbeitungen von über 320 Übungsaufgaben anbietet sowie Errata und Ergänzungen zu den verschiedenen Auflagen des Buches.

 

Workshops: Konzept und Inhalt

Die Workshops beginnen mit einem freiwilligen, anonymen Online-Einstufungstest, der die individuellen Schwächen im Schulstoff für jede/n einzelne/n StudentIn bestimmt. Automatisiert ausgewertet wird je nach Detailergebnis der Besuch einzelner von 13 angebotenen Workshops empfohlen. Diese beschäftigen sich jeweils mit einem klar umrissenen Stoffgebiet, wie etwa Primzahlen und Teilbarkeit oder Kurvendiskussionen. Die Präsentation orientiert sich an der schulmathematischen Praxis des beispielorientierten Lernens. Die Workshops werden von erfahrenen TutorInnen geleitet und machen intensiven Gebrauch von modernen E-learning-Technologien wie MathBridge [5], elektronischen Unterlagen und vielfältigen multimedialen Lernhilfen des mathe online-Projektes [1], die teilweise im Rahmen des NML-Projekts Neue Medien in der Mathematik-Ausbildung von den Einreichern mitgestaltet wurden.

Die Workshops stellen eine studierendenzentrierte Phase individualisierten Lernens dar (vgl. [4]) und stärken durch einen Prozess des selbstgesteuerten Lernens die Eigenverantwortung der Studierenden. Insbesondere werden die StudienanfängerInnen in die Lage versetzt und motiviert, gezielt an ihren Schwächen zu arbeiten. Im Rahmen der Workshops werden auch Einheiten zur Prüfungsvorbereitung angeboten, sowie jeweils nach den Prüfungsterminen ,,Nachleseeinheiten“, in deren Rahmen typische Fehler aufgearbeitet werden.

Die TutorInnen werden von den Vortragenden der EMA sorgfältig ausgewählt und gecoacht, um einerseits den optimalen Verlauf der Workshop-Einheiten zu gewährleisten und andererseits die Lehrkompetenzen dieser erfahrenen Studierenden (weiter) zu entwickeln. Ihrem Selbstverständnis entsprechend und eingedenk der Tatsache, dass mehr als 50% der StudienanfängerInnen weiblich sind, während noch immer nur wenige Frauen an Universitäten mathematisch forschen und lehren, haben die Einreicher immer mindestens 50% der Tutorien an Studentinnen vergeben. Diese Maßnahme trägt sowohl zur Sichtbarmachung von Studentinnen als auch zu ihrer Motivation bei.

 

Qualitätskontrolle und Weiterentwicklung

Die EMA wird laufend im Rahmen der institutionalisierten Lehrveranstaltungsevaluation einer Qualitätskontrolle unterzogen. Zusätzlich haben die Einreicher gemeinsam mit der Fachdidaktikerin Evelyn Süss-Stepancik umfangreiche empirische Untersuchungen [7,9,10,11] durchgeführt und zur stetigen Verbesserung und Adaption der Studieneingangsphase herangezogen. Die Ergebnisse erlauben folgende Schlussfolgerungen:

 

(1) Die EMA wird sowohl von Fach- als auch von Lehramtsstudierenden als wichtige Grundlage für ihr Studium wahrgenommen, und das Konzept als ausgereift und stimmig empfunden.

(2) Der Schulstoff stellt für viele Studierende nach wie vor eine große Hürde dar: Studierende, die bei der Prüfung negativ abschneiden, wenden einen hohen Anteil ihrer Vorbereitungszeit für den Schulstoff auf. Da gleichzeitig die Wirksamkeit der Workshops nicht optimal bewertet wurde, sollten weitere Ressourcen für die Workshops bereitgestellt werden (siehe auch Ausblick).

(3) Hinsichtlich des Prüfungserfolgs zeigt sich ein deutlicher Gender-Gap, wobei die weiblichen Studierenden schlechter abschneiden. Dieser wird von einer Diskrepanz zwischen Lehramts- und Fachstudierenden überlagert, wobei die LehramststudentInnen (ca. 60% weiblich) deutlich schlechter abschneiden als die Bachelorstudierenden (ca. 60% männlich).

 

Insbesondere um den letztgenannten Sachverhalt aufzuklären, haben der Einreicher Roland Steinbauer und Evelyn Süss-Stepancik gestützt auf Leitfadeninterviews in einer quantitativen Studie [9,12] Motivations- und Erwartungshaltung von AnfängerInnen beider Studien erhoben, die deutlich divergierende Erwartungen und als unterschiedlich hoch empfundene Anforderungen aufdeckte. Diese Erkenntnisse legten die Basis für eine stärkere Differenzierung der Lehrveranstaltungen in den beiden Studien.

Eine exakte numerische Analyse der Drop-Out Raten gestaltet sich aufgrund der mehrfachen Änderungen der Curricula als schwierig. Der langjährige Trend zeigt aber ein signifikantes und stetiges Sinken des Drop-Outs.

 

Zusammenfassung und Ausblick

Das hier vorgestellte Projekt ist über viele Jahre gereift. Es wurde und wird von den Einreichern laufend unter fachdidaktischer und empirischer Begleitung weiterentwickelt und in seiner Wirksamkeit evaluiert und verbessert. Die Einreicher haben das Konzept durch ihre Publikationen [7,11] und ihre Vortragstätigkeit [9,10,12] in den internationalen hochschuldidaktischen Diskurs eingebracht, wodurch es weit über die Universität Wien hinaus Interesse gefunden hat. Es wird als innovative und attraktive Alternative sowohl zu den „traditionellen“ Einführungslehrveranstaltungen wahrgenommen, wie auch zu den vielerorts üblichen Brückenkursen, die ein Wiederholen des Schulstoffs in einem traditionelleren Setting vorsehen. Das von den Einreichern im Springer Verlag publizierte Lehrbuch [8] hat regen Zuspruch erfahren (siehe etwa [2]), sodass derzeit eine Neuauflage vorbereitet wird. In diese bereits 3. Auflage werden als innovative Neuerung Animationen und Videos zu Schlüsselstellen eingebunden, um das Buch schrittweise zu einem Multimedia-System auszubauen. Darüber hinaus ist eine englische Übersetzung projektiert.

Als weiteren Schritt planen die Einreicher als Reaktion auf obige Schlussfolgerung (2), die Materialien der Workshops zu bündeln und zu einem Lehrbuch zu erweitern. Dabei soll der Schulstoff in einer Form aufbereitet werden, die eine weitergehende Reflexion der Inhalte bietet und sie in generischer Weise mit einer Einführung in Computeralgebrasysteme verbindet.

 

Auszug aus dem Gutachten von Prof. DI Manfred Hampe
Technische Universität Darmstadt:

Dass das Studium an der Universität etwas anderes ist und anders sein muss als der Unterricht an der Schule, ist seit mehr als zweihundert Jahren im deutschsprachigen Bildungsraum fest verankertes Credo. Im Fach Mathematik leiden nicht wenige Studierende unter dem, was die Universitätsprofessoren Schichl und Steinhauer von der Universität Wien als „Abstraktionsschock“ bezeichnen: Der Übergang von der Schulmathematik auf die Universitätsmathematik ist für eine Reihe von Studierenden so abrupt, dass sie zurückbleiben. Schichl und Steinhauer wirken diesem Abstraktionsschock mit ihrer Veranstaltung „Einführung in das mathematische Arbeiten“ entgegen. Sie sticht aus der Vielzahl von Mathematik-Brückenkursen an Universitäten heraus, weil sie eine Sozialisierung der Studierenden in die Gemeinschaft der Mathematiker und Mathematikerinnen unternimmt und bewirkt. Hochschullehrer machen sich selten Gedanken über das „Hidden Curriculum“, das sie neben ihrem normalen Curriculum vertreten. Anders bei Schichl und Steinhauer: In ihrer Einführung werden das „Unausgesprochene explizit und das Inoffizielle offiziell gemacht“. Sie haben Erfolg mit ihrer Methode, die sie über mehrere Jahre hinweg angewandt und kontinuierlich weiterentwickelt haben: Die Studierenden bleiben bei der Stange. Die Veranstaltung hat Vorbildcharakter in der Mathematik. Das im Springer Verlag nunmehr in zweiter Auflage erschienene Buch der Preisträger ist für die Weiterverbreitung ihres Ansatzes geeignet. Schichl und Steinhauer erhalten den Ars docendi-Preis in  Würdigung ihrer herausragenden Verdienste um neue Lehrformen in der Mathematik.

Positionierung des Lehrangebots

Detaillierte Ausführungen zur Positionierung des Lehrangebots finden sich unter "Ziele/Motive/Ausgangslage" im letzten Abschnitt (Lehrbezogene Angaben zum Projekt).

Das Beispiel wurde für den Ars Docendi Staatspreis für exzellente Lehre 2016 in der Kategorie Lehr- und Prüfungsformen bei Einführungsveranstaltungen nominiert.